Objetivo:
- Diseñar con Geogebra una tesela utilizando las herramientas rotación, traslación o reflexión.
- Cubrir una superficie con muchas teselas iguales. Para ello
- Imprimir la tesela muchas veces y recortarla o
- Exportar la tesela a Illustrator y multiplicarla
Las teselas son piezas que, unidas o pegadas unas a otras, pueden cubrir una superfecie. A esta superficie cubierta se le llama teselado.
Las teselas pueden ser todas iguales o podrían ser distintas. Pueden tener forma poligonal o tener formas libres.
Un artista muy conocido que trabajó con teselados fue Escher. Dibujó salamandras, peces, aves, caballeros y caballos... y todos encajaban.
Nosotros vamos a realizar una tesela de forma libre con Geogebra. Puedes darle forma de animal, de planta o de lo que se te ocurra. Lo importante es que, repitiendo esa forma muchas veces, hay que cubrir una superficie completamente.
Este dibujo que ves aquí es la clave de todo. Lo encontré en el MoMath de Nueva York. Así que le hice una foto.
El primer ejemplo es un cuadrado. En sus lados ves triángulos pequeños de color morado y amarillo. Representan las modificaciones que puedes hacer en los lados de tu cuadrado para que las piezas encajen.
Los triángulos del mismo color, están emparejados. Mira los triángulos morados. Es como si hubieras trasladado hacia la derecha uno de ellos. Las modificaciones que hagas a la derecha, tienes que hacerlas también a la izquierda.
Lo mismo pasa con los amarillos. Si trasladas el de arriba obtienes el de abajo. Espero haberlo explicado bien.
Veamos la primera figura de la fila de abajo. Partimos de un hexágono. Los triángulos pequeños del mismo color están emparejados. Lo que modifiques hacia afuera en la lado superior (triángulo morado pequeño), debes modificarlo hacia adentro en el lado que está a su izquierda (otro triángulo morado pequeño). Si rotas el primero, obtienes el segundo. Y las distancias a los vértices importan.
Lo mismo pasa con los triángulos azules: si rotas uno de ellos con respecto a un vértice obtienes el segundo triángulo azul. Y así con los amarillos.
Vamos ahora con Geogebra. Haremos un ejemplo partiendo de un hexágono como el explicado anteriormente. Dibujaremos un punto en lugar de un triángulo pequeño. Y luego ese punto lo rotaremos para obtener su pareja.
1.
Elimina la vista de cuadrícula y ejes (debajo de Vista
gráfica).
2.
Dibuja un hexágono regular con la herramienta Polígono Regular
3.
Dibuja tres puntos cerca de tres de sus lados (lados no
contiguos) con la herramienta Punto.
4.
Crea un duplicado de cada punto aplicando una simetría
rotacional con la herramienta Rota alrededor de un punto, con un ángulo de 120ª
- primero elige la herramienta,
- luego selecciona el primer punto (uno de los que tú has creado en apartado anterior)
- después selecciona el vértice sobre el que se va a rotar,
- finalmente introduce 120 grados.
Realiza esta operación en los tres puntos que creaste en el apartado 3
5.
Une todos los puntos (los que tú has creado + los vértices del hexágono + los que se han creado con la rotación) con las herramientas Segmento o
Semicircunferencia (ten mucho cuidado si eliges Semicircunferencia pues debes
aplicarla de forma simétrica).
6.
Mueve los puntos hasta que te guste la forma que se ha
creado. Cuando mueves un punto, se mueve también su pareja.
7.
Elimina la vista de las etiquetas y de los puntos para
que solamente veas las líneas (botón derecho del ratón en la Vista algebraica o
sobre cada punto).
8.
Exporta el fichero como jpg e imprímelo tantas veces como quieras. Luego recorta y comprueba cómo todas las piezas encajan. Eso sí, tendrás que rotarlas 120º para conseguirlo.
9. Si lo que quieres es llevarlo a Illustrator, no exportes como jpg, sino como eps.
10. Abre el eps en Illustrator. Probablemente tengas que eliminar el relleno blanco de la forma para quedarte únicamente con los contornos.
11. Con la herramienta Objeto-Trasformar-Rotar 120º, no des a OK, sino a Copiar.
Aquí te dejo algunos ejemplos de Geogebra + Illustrator:
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