Jugando a la Teoría de Juegos - El Equilibrio de Nash

Antes de nada te recomiendo que veas la película Una mente maravillosa. Es una auténtica obra maestra o, como se suele decir, un peliculón. Y la banda sonora... brillante y espectacular. Aunque lo más probable es que ya la hayas visto porque fue un exitazo en su momento y ganadora de 4 Oscars. Está basada en la vida del matemático Jonh Forbes Nash, quien obtuvo el Premio Nobel de Economía en el año 1994 por sus aportaciones a la Teoría de Juegos. Y no te cuento más porque no quiero destrozarte la película.

Nota: Este blog está dedicado a alumnos de Secundaria y a formar actitudes positivas hacia las matemáticas. Por este motivo, esta entrada está destinada más bien a entretener y no contendrá fórmulas ni demostraciones. De ahí el título de la entrada: Jugando a la Teoría de Juegos.

La Teoría de Juegos

La Teoría de Juegos es una rama de las matemáticas cuyo objetivo es el estudio del comportamiento de los jugadores, sabiendo que la estrategia de cada jugador depende de las estrategias que realicen los demás. Se utiliza en economía, sociología, biología, politología, estrategia militar...

Podemos clasificar los juegos en dos grupos:

Vamos a ver de qué va esto de la Teoría de Juegos con el famoso Dilema del Prisionero.

El Dilema del Prisionero

Dos personas sospechosas de haber cometido un delito han sido detenidas. Se les interroga por separado y estas son las condiciones que se le ofrece a cada una de ellas:

"Si confiesas el delito cometido y tu compañero también confiesa, pasarás 6 años en prisión."
"Si callas y tu compañero también calla, pasarás 6 meses en prisión
"Si tu callas y tu compañero confiesa, pasarás 10 años prisión"
"Si tu confiesas y tu compañero calla, saldrás libre".

Repito: estas condiciones son las que ofrecen al Prisionero 1 y también las que ofrecen al Prisionero 2, pero por separado.

Para ver esto mejor utilizamos lo que se llama "Matriz de Pagos", en la que aparecen los beneficios o pérdidas de los dos prisioneros. Como en este caso estamos hablando de años de cárcel, tendremos pagos negativos. En el caso de que el prisionero salga libre, el pago es 0, pues se queda como está.

		Prisionero 2
		Delata		Calla
Prisionero 1	Delata	-6	-6	0	-10
	Calla	-10	0	-1/2	-1/2

Así en cada celda puedes ver las condenas de los prisioneros. A la izquierda, la condena del Prisionero 1, a la derecha la condena del Prisionero 2.

Dibujo de www.colorear.info

Si el Prisionero 1 Delata y el Prisionero 2 Delata, obtendrán cada uno 6 años de prisión (-6, -6). pagos negativos lógicamente.
Si el Prisionero 1 Calla y el Prisionero 2 Delata, habrá 10 años de prisión para el Prisionero 1 y 0 años de prisión para el Prisionero 2. (-10, 0).
Si los dos callan, 1/2 año de prisión para cada uno (-1/2,-1/2)
Si el Prisionero 2 Calla y el Prisionero 2 Delata, (0, -10)

Es muy importante que entiendas esta matriz para seguir con el equilibrio de Nash.

Ahora vamos a empezar a pensar como el Prisionero 1.

¿Qué me pasará si el Prisionero 2 Delata? (Columna 1) Pues si yo Delato, me paso 6 años de cárcel y si Callo me paso 10 años de cárcel. Prefiero Delatar.
Qué me pasará si el Prisionero 2 Calla? (Columna 2) Pues si yo Delato tengo 0 años de cárcel y si Callo tengo 1 año de cárcel. Prefiero Delatar.

Haga lo que haga el Prisionero 2, el Prisionero 1 siempre preferirá Delatar

Ahora vamos a empezar a pensar como el Prisionero 2.

¿Qué me pasará si el Prisionero 1 Delata? (Fila 1) Pues si yo Delato, me paso 6 años de cárcel y si Callo me paso 10 años de cárcel. Prefiero Delatar.
Qué me pasará si el Prisionero 1 Calla? (Fila 2) Pues si yo Delato tengo 0 años de cárcel y si Callo tengo 1 año de cárcel. Prefiero Delatar.

Haga lo que haga el Prisionero 1, el Prisionero 2 siempre preferirá Delatar

Los dos prisioneros han coincidido en un punto, Delata-Delata. Ninguno de ellos querrá cambiar su estrategia, pues no considera que pueda mejorar su situación.

Por estos motivos, la situación Delala-Delata es un Equilibrio de Nash.

Equilibrio de Nash

Los puntos de Equilibrio de Nash son aquellos que los jugadores han elegido como mejor respuesta.
En el equilibrio de Nash ningún jugador puede arrepentirse de la estrategia que ha adoptado y, sin embargo, el resultado puede no ser tan bueno como el que se obtendría en una situación de cooperación.
El equilibrio de Nash no tiene que ser siempre la mejor opción. En el Dilema del Prisionero la mejor opción es Calla-Calla.

Es muy importante que entiendas bien el Equilibrio de Nash en el Dilema del Prisionero para poder contestar a las preguntas que se plantean a continuación. De todas formas puedes encontrar las soluciones al final de este post.

Comenzamos a jugar!!!!

Pregunta 1

Ordena las constantes a, b, c y d de menor a mayor para que el equilibrio de Nash esté en Delata-Delata, sabiendo que a>d

Pregunta 2

Dos empresas están pensando si deben abrir una nueva fábrica o no deben abrirla. ¿Dónde está el Equilibrio de Nash?

La matriz de pagos es:

Pregunta 3

Los trabajadores de dos fábricas están pensando en hacer huelga.

Si la fábrica 1 decide “no huelga”, ¿cual es la mejor respuesta para la fábrica 2?

•Huelga

•No huelga

•Da igual

•No hay mejor respuesta

Pregunta 4 . Modelo Halcón-Paloma

Dos individuos se disputan una pieza que se llama V. Estos individuos pueden tomar una actitud de paloma (respetuosa) o de halcón (agresiva).

•Si dos palomas se encuentran se lleva cada una la mitad de la pieza, 1/2V.

•Si se enfrentan una paloma y un halcón, el halcón se lleva V y la paloma no se lleva nada.

•Si dos halcones se enfrentan lucharán y cada uno obtendrá 1/2 V, pero el coste de la lucha es C.

Si C<1/2V, ¿qué situación es Equilibrio de Nash?

Soluciones

Pregunta 1 b<d<a<c

Pregunta 2 Abrir – Abrir

Pregunta 3 No huelga

Pregunta 4 Halcón-Halcón

Espero que hayas contestado correctamente a todas las preguntas y que te haya gustado jugar a la Teoría de Juegos.

Puedes encontrar dos juegos más en este enlace:

Más sobre Nash

Hasta la próxima. ¡¡¡Y Feliz Noche de Halloween!!!